Question

用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n2

用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=n2．

Answer 1

解答：证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
综上（1）（2）可知1+3+5+…+（2n-1）=n²对于任意的正整数成立．

Answer 2

证明：
（1）当n=1的时候，命题明显成立，
（2）假设当n=k的时候，命题成立，即有
-1+3-5+…+(-1)^k*(2k-1)=(-1)^k*k
那么当n=k+1的时候
-1+3-5+…+(-1)^k*(2k-1)+(-1)^(k+1)(2k+1)
=(-1)^k*k+(-1)^(k+1)(2k+1)
=-(-1)^(k+1)*k+(-1)^(k+1)(2k+1)
=(-1)^(k+1)*(2k+1-k)
=(-1)^(k+1)*(k+1)
命题得证