Question

已知直线l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0及点P（3，4）．（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．（2）

已知直线l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0及点P（3，4）．（1）证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．（2）当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．

Answer 1

（1）直线l方程可化为：a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0 由 2x+y+1=0 x+y-1=0 ，解得x=-2且y=3， ∴直线恒l过定点A，其坐标为（-2，3）． （2）∵直线恒l过定点A（-2，3） ∴当点P在直线l上的射影点恰好是A时， 即PA⊥l时，点P到直线l的距离最大 ∵PA的斜率k PA = 4-3 3+2 = 1 5 ∴直线l的斜率k= -1 k PA =-5 由此可得点P到直线l的距离最大时， 直线l的方程为y-3=-5（x+2），即5x+y+7=0．