Question

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切,

已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+ =0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求 · 的取值范围;(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.





Answer 1

(1) + =1    (2)    (3)见解析

(1)解:由题意知e= = , ∴e 2 = = = , 即a 2 = b 2 . 又b= = , ∴b 2 =3,a 2 =4, 故椭圆的方程为 + =1. (2)解:由题意知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y=k(x-4). 由 得(4k 2 +3)x 2 -32k 2 x+64k 2 -12=0. 由Δ=(-32k 2 ) 2 -4(4k 2 +3)(64k 2 -12)>0, 得k 2 < . 设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则     (*) ∴y 1 y 2 =k 2 (x 1 -4)(x 2 -4)=k 2 x 1 x 2 -4k 2 (x 1 +x 2 )+16k 2 , ∴ · =x 1 x 2 +y 1 y 2 =(1+k 2 )· -4k 2 · +16k 2 =25- ∵0≤k 2 < , ∴- ≤- <- , ∴ · ∈ . ∴ · 的取值范围是 . (3)证明:∵B、E两点关于x轴对称, ∴E(x 2 ,-y 2 ). 直线AE的方程为y-y 1 = (x-x 1 ), 令y=0得x=x 1 - , 又y 1 =k(x 1 -4),y 2 =k(x 2 -4), ∴x= . 将(*)式代入得,x=1, ∴直线AE与x轴交于定点(1,0).