Question

已知椭圆C ： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆

已知椭圆C ： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k 1 ，k 2 ，证明：k 1 ·k 2 为定值；（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若 ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

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Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为 ， ∵直线 与圆相切， ∴ ，即 ，  又 ，即 ， ， 解得 ， ， 所以椭圆方程为 。 （Ⅱ）设 ， ， ， 则 ，即 ， 则 ， ， 即 ， ∴ 为定值 。 （Ⅲ）设 ，其中 ， 由已知 及点P在椭圆C上可得 ， 整理得 ，其中 ， ①当 时，化简得 ， 所以点M的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于x轴的线段； ②当 时，方程变形为 ，其中 ， 当 时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足 的部分； 当 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足 的部分；当 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。