Question

一道高数题，跪求大神！

试求顶点在原点，且三个坐标轴在其上的圆锥面方程、

要过程，感谢！

Answer 1

这样的圆锥面有四个，

（1）旋转轴为直线x=y=z，

则这个曲面可以看成x轴绕直线x=y=z旋转而成

设其上任一点为（x，y，z）

则过该点且垂直于旋转轴的平面方程为

(X-x)+(Y-y)+(Z-z)=0

即：X+Y+Z=x+y+z

此平面与x轴的交点为：(x+y+z，0，0)

与旋转轴的交点为：((x+y+z)/3，(x+y+z)/3，(x+y+z)/3)

所以，截面半径(两个交点间的距离)为：

r=√(2/3)·(x+y+z)

所以，轨迹方程为：

[x-(x+y+z)/3]^2+[y-(x+y+z)/3]^2+[z-(x+y+z)/3]^2=(2/3)·(x+y+z)^2

化简可得：xy+yz+zx=0

（2）仿（1）可求得另三个圆锥面依次为：

xy-yz+zx=0

xy+yz-zx=0

xy-yz-zx=0