已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证1|FA|+1|FB|为定

已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证1|FA|+1|FB|为定值.... 已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证1|FA|+1|FB|为定值. 展开
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血刺青衣嗍掛
2014-12-28 · 超过58用户采纳过TA的回答
知道答主
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证明:设过焦点F的直线方程为 y=k(x-
p
2
) 与y2=2px联立消y得k2(x?
p
2
)
2
=2px

∴k2x2-(k2p+2p)x+
k2p2
4
=0,
x1+x2
k2p+2p
k2
,x1x2=
p2
4

∴|FA|=x1+
p
2
,|FB|=x2+
p
2

1
|FA|
+
1
|FB|
|FA|+|FB|
|FA|?|FB|
=
x1+x2+p
(x1+
p
2
) (x2+
p
2
=
2
p
占曦pi
2019-07-03
知道答主
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(1)抛物线的焦点为F(p2,0),设直线AB的方程为y=k(x-p2)(k≠0),
由y=k(x?p2)y2=2px,消去y,得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,
由根与系数的关系,得x1x2=p24(定值).
当AB⊥x轴时,x1=x2=p2,x1x2=p24,也成立.
(2)由抛物线的定义,知|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2.
1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1?p2+x2?p2+x1x2+p24=2
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