已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证1|FA|+1|FB|为定
已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证1|FA|+1|FB|为定值....
已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证1|FA|+1|FB|为定值.
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(1)抛物线的焦点为F(p2,0),设直线AB的方程为y=k(x-p2)(k≠0),
由y=k(x?p2)y2=2px,消去y,得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,
由根与系数的关系,得x1x2=p24(定值).
当AB⊥x轴时,x1=x2=p2,x1x2=p24,也成立.
(2)由抛物线的定义,知|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2.
1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1?p2+x2?p2+x1x2+p24=2
由y=k(x?p2)y2=2px,消去y,得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,
由根与系数的关系,得x1x2=p24(定值).
当AB⊥x轴时,x1=x2=p2,x1x2=p24,也成立.
(2)由抛物线的定义,知|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2.
1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1?p2+x2?p2+x1x2+p24=2
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