Question

（2014?盐城三模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．（1）若PF=

（2014?盐城三模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点F为侧棱PC上一点．（1）若PF=FC，求证：PA∥平面BDF；（2）若BF⊥PC，求证：平面BDF⊥平面PBC．

Answer 1

解答：证明：（1）设AC，BD的交点为O，连OF，
∵底面ABCD为菱形，∴O为AC中点，
又PF=FC，∴PA∥OF，…（5分）
且PA?平面BDF，OF?平面BDF，
∴PA∥平面BDF．…（7分）
（2）∵底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
∵BF⊥PC，∴PC⊥平面BDF，
又PC?平面PBC，∴平面BDF⊥平面PBC．…（14分）