Question

如图,底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABD=60°,E为PC上一动点,PA=AC=2

求证（1）BD⊥AE (2)若E为PC中点，求三棱锥E-PAD体积
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没有图了..........

Answer 1

(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PA∩AC=C，∴BD⊥平面PAC，
∵点E在PC上，∴AE在平面PAC内，∴BD⊥AE。
(2)在Rt△PAC中，∵PA=AC=2，∴△PAC的面积=(1/2)×2×2=2，
∵E是PC的中点，∴△PAE的面积=1/2△PAC的面积=1，
设AC、BD交于O点，则AC、BD互相平分于O，∴AO=1/2AC=1，
在Rt△AOB中，∵∠ABO=60°，∴OB=AO/tan∠ABD=1/√3=√3/3，
故DO=√3/3，
由前面证明可知，DO⊥平面PAE，
∴三棱锥E-PAD的体积=三棱锥D-PAE的体积=(1/3)×△PAE的面积×DO=√3/9。

Answer 2

解 ： （1） 连接 AE 、BD ，PA⊥平面ABCD ，得知 PA⊥BD ； 在菱形 ABCD 中 ，BD AC 为对角线 ，BD⊥ AC ；而 AC 、PA在平面PAC 中 且 相交 ， 因此 BD ⊥ 平面 PAC ，因此 BD⊥AE，
(2) 若 若E为PC中点 ，则 求三棱锥体积可以转化成求 三棱锥D-PAC体积，之后 除以2 就可以。
PA=AC=2 ，∠ABD=60°,推知 AC=2 ， 三棱锥D-PAC体积也是三棱锥P-ACD的体积，PA⊥ 底面 ABCD，因此 三棱锥P-ACD的体积= 1/3 *PA* S（三角形 ACD）=1/3 *2*（2*2*0.5*sin60度）=2*（根号3）/3, 因此 三棱锥E-PAD体积 为 （根号3）/3