Question

四棱锥P----ABCD的底面为菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=√6,E为PC的中点,

求二面角E——AD——C的正切值。

Answer 1

连结AC、BD，AC∩BD=O，连结OE，在底面ABCD上作OH⊥AD，垂足H，连结EH，
∵O是AC的中点，（菱形对角线互相垂直平分），
∴OE是△CAP的中位线，
∴OE//PA，且OE=PA/2=√6/2，
∵PA⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵OH⊥AD，
∴根据三垂线定理，EH⊥AD，
∴〈EHO是二面角E-AD-C的平面角，
∵〈ADC=120°，
∴〈DAB=60°，
∴△ABD是正△，
BD=AB=AD=1，
根据余弦定理，AC=√3，
AO=√3/2，
OD=1/2，
〈AOD=90°，
∴AD*OH=AO*OD，（等面积原理），
∴OH=（1/2）*（√3/2）/1=√3/4，
tan<EHO=OE/OH=(√6/2）/（√3/4）=2√2。
∴二面角E-AD-C的正切值为2√2。