Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从 B点出发

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从 B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动．运动时间为t秒；（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；（2）写出t的取值范围；（3）用含有t的代数式表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；（4）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．

Answer 1

（1）t时刻时， ∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动， ∴CP=t，BQ=2t， 即用含有t的代数式表示BQ、CP的长为：BQ=2t，CP=t． （2）∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动， ∴Q的速度是P的两倍， ∵2AC＜BC， ∴可知P先到达A点， 且t= AC 1 =4． ∵若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动， ∴t的取值范围是：0≤t≤4． （3）由（1）得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm， ∴CQ=12-2t， ∴Rt△PCQ的面积为 1 2 ×CQ×CP = 1 2 ×(12-2t)×t =t（6-t）， ∵Rt△ABC的面积为 1 2 ×AC×BC= 1 2 ×4×12 =24， ∴四边形APQB的面积=Rt△ABC的面积-Rt△PCQ的面积=24-t（6-t）． （4）由（3）得四边形APQB的面积为24-t（6-t）， 变形为t 2 -6t+24=（t-3） 2 +15， 根据二次函数的性质可知，当t=- -6 2×1 =3时，取得最小值，解为15． 即CP=3cm，BQ=6cm时面积最小，最小为15cm 2 ．