Question

已知关于x的一元二次方程x 2 +（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：

已知关于x的一元二次方程x 2 +（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x 1 ，x 2 是原方程的两根，且|x 1 ﹣x 2 |=2 ，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

（1）证明：∵△=（m+3） 2 ﹣4（m+1） =（m+1） 2 +4 ∴无论m取何值，（m+1） 2 +4恒大于0 ∴原方程总有两个不相等的实数根 （2）∵x 1 ，x 2 是原方程的两根 ∴x 1 +x 2 =﹣（m+3），x 1 x 2 =m+1 ∵|x 1 ﹣x 2 |=2 ∴（x 1 ﹣x 2 ） 2 =（2 ） 2 ∴（x 1 +x 2 ） 2 ﹣4x 1 x 2 =8 ∴[﹣（m+3）] 2 ﹣4（m+1）=8 ∴m 2 +2m﹣3=0 解得：m 1 =﹣3，m 2 =1 当m=﹣3时，原方程化为：x 2 ﹣2=0 解得：x 1 = ，x 2 =﹣ …11分 当m=1时，原方程化为：x 2 +4x+2=0 解得：x 1 =﹣2+ ，x 2 =﹣2﹣