Question

已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1） 2 -x（a＞0）．（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a的值

已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1） 2 -x（a＞0）．（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a的值；（2）如图，设直线x=- 1 2 ，y=-x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；（3）比较3 2 ×4 3 ×5 4 ×…×2012 2011 与2 3 ×3 4 ×4 5 ×…×2011 2012 的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1） 2 -x， ∴f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1， ∵f（x）在x=0处取极值， ∴f′（0）=-4a+1=0， ∴a= 1 4 ，经检验a= 1 4 符合题意， 故a= 1 4 ． （2）∵函数的定义域为（- 1 2 ，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0， 又直线y=-x恰好过原点， 所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内， 于是f（x）＜-x， 即 （2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1） 2 -x＜-x， ∵2x+1＞0，∴a＞ ln(2x+1) 2x+1 ， 令h（x）= ln(2x+1) 2x+1 ，∴h′（x）= 2-2ln(2x+1) (2x+1 ) 2 ， 令h′（x）=0，得x= e-1 2 ， ∵x＞- 1 2 ，∴x∈（- 1 2 ， e-1 2 ）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， x∈（ e-1 2 ，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减． ∴m max （x）=m（ e-1 2 ）= 1 e ， ∴a的取值范围是：a＞ 1 e ． （3）由（2）知，函数m（x）= ln(2x+1) 2x+1 在x∈（ e-1 2 ，+∞）时单调递减， ∴函数p（x）= lnx x 在x∈（e，+∞）时，单调递减， ∴ ln(x+1) x+1 ＜ lnx x ，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx， ∴ln（x+1） x ＜lnx （x+1） ，即（x+1） x ＜x （x+1） ， ∴令x=3，4，…，2011，则4 3 ＜3 4 ，5 4 ＜4 5 ，…，2012 2011 ＜2011 2012 ． 又3 2 ×4 3 ＜2 3 ×3 4 ， ∴3 2 ×4 3 ×5 4 ×…×2012 2011 ＜2 3 ×3 4 ×4 5 ×…×2011 2012 ．