Question

已知函数f（x）=lnx-a(x?1)x+1（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（

已知函数f（x）=lnx-a(x?1)x+1（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：lnm?lnn2＞m?nm+n．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=

x2+2(1?a)x+1

x(x+1)2

，
根据题意，在（0，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即x²+2（1-a）x+1≥0，
∴a≤

1

2

（x+

1

x

）+1，
∵x+

1

x

≥2，
∴y=

1

2

（x+

1

x

）+1≥2，
∴a≤2，
 a的取值范围是（-∞，2]；
（Ⅱ）原式?ln

m

n

-

2( m n ?1)

m n +1

＞0，
由（Ⅰ）得a=2时f（x）在（0，+∞）上为增函数
∵m＞n＞0，
∴

m

n

＞1，
∴f（

m

n

）＞f（1），
而f（1）=0，
∴原式成立．