Question

用数学归纳法证明1的方+3的方+5的方+。。。+(2n-1)的方=1/3(4的方-1)

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Answer 1

用数学归纳法证明1的方+3的方+5的方+。。。+(2n-1)的方=1/3(4的方-1)
也就是1^2+3^2+5^2+……+(2n-1)^2=(1/3)n(4n^2-1)
证明(1)当n=1时，命题显然成立。
(2)假设当n=k时命题成立，即
1^2+3^2+5^2+……+(2k-1)^2=(1/3)k(4k^2-1)(k是≥1的整数）
那么当n=k+1时,
1^2+3^2+5^2+……+(2k-1)^2+(2k+1)^2=(1/3)k(4k^2-1)+(2k+1)^2
=(1/3)(2k+1)[(2k-1)k+3(2k+1)]
=(1/3)(2k+1)(2k^2+5k+3)
=(1/3)(2k+1)(k+1)(2k+3)
=(1/3)(k+1)[4(k+1)^2-1]
即n=k+1时命题成立，由数学归纳法知原命题成立。