Question

已知函数 f(x)= 1 1-x +lg 1+x 1-x （1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单调性（

已知函数 f(x)= 1 1-x +lg 1+x 1-x （1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；（2）若f（x）的反函数为f -1 （x），证明方程f -1 （x）=0有解，且有唯一解；（3）解关于x的不等式f[x（x+1）]＞1．

Answer 1

（1）由 1+x 1-x ＞0 ，及1-x≠0，得：-1＜x＜1， ∴f（x）的定义域为（-1，1），…（2分） 由于 y=lg 1+x 1-x =lg(-1+ 2 1-x ) 和 y= 1 1-x 在（-1，1）上都是增函数， ∴f（x）在定义域（-1，1）内是增函数．      …（4分） （2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f -1 （x）=0的一个解…（7分） 设x 1 ≠0是f -1 （x）=0的另一解，则由反函数的定义知f（0）=x 1 ≠0， 这与f（0）=1矛盾，故f -1 （x）=0有且只有一个解．…（10分） （3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，得0＜x（x+1）＜1， 解得 - 1+ 5 2 ＜x＜-1 或 0＜x＜ -1+ 5 2 ，这也即为不等式f[x（x+1）]＞1的解．…（16分）