Question

如图，已知直线y=?12x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=?12x2+bx+c经过点A、B，P为直线AB上的一个

如图，已知直线y=?12x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y=?12x2+bx+c经过点A、B，P为直线AB上的一个动点，过P作x轴的垂线与抛物线交于C点．（1）抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴另一个交点为D，连接AD，证明：△ABD为直角三角形；（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=?

1

2

x+2与x轴交于点B，
∴令y=0得?

1

2

x+2=0，解得x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
∵直线y=?

1

2

x+2与y轴交于点A，
∴令x=0，解得y=2，
∴点A的坐标为（0，2），
∵抛物线y=?

1

2

x²+bx+c经过点A、B，
∴把（0，2），（4，0）分别代入y=?

1

2

x²+bx+c得：

c＝2 ?8+4b+c＝0

，
解得

b＝ 3 2 c＝2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）连接AD，如图所示：

∵抛物线与x轴另一个交点为D，
∴令y=0得-

1

2

x²+

3

2

x+2=0，解得x₁=4，x₂=-1，
又点D在x轴的负半轴上，
∴点D的坐标为（-1，0），
在直角三角形AOB中，OA=2，OB=4，
根据勾股定理得：AB²=2²+4²=20，
在直角三角形AOD中，OA=2，OD=1，
根据勾股定理得：AD²=2²+1²=5，
又BD²=（OD+OB）²=（1+4）²=25，
∴BD²=AB²+AD²，
则△ABD为直角三角形；

（3）设点P的坐标为（x，-

1

2

x+2），
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
∴点C（x，-

1

2

x²+