Question

（11·贵港）（本题满分12分）．如图，已知直线y＝－ x＋2与抛物线y＝a (x＋2) 2 相交于A、B两点，点A

（11·贵港）（本题满分12分）．如图，已知直线y＝－ x＋2与抛物线y＝a (x＋2) 2 相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点． （1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l 2 与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）A的坐标是（0，2）………………1分 抛物线的解析式是y＝  (x＋1) 2 ………………3分 （2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，过点P作PD⊥x轴于点D…………4分 设P的坐标是(x，－ x＋2)，则在Rt△PDM中， PM 2 ＝DM 2 ＋PD 2 即l 2 ＝(－2－x) 2 ＋(－ x＋2) 2 ＝ x 2 ＋2x＋8………………6分 自变量x的取值范围是：－5＜x＜0………………7分 （3）存在满足条件的点P………………8分 连接AM，由题意得，AM＝ ＝ ＝2 ………………9分 ①当PM＝PA时， x 2 ＋2x＋8＝x 2 ＋(－ x＋2－2) 2 解得：x＝－4  此时 y＝－ ×(－4)＋2＝4 ∴点P 1 (－4，4) ………………10分 ②当PM＝AM时， x 2 ＋2x＋8＝(2 ) 2 解得：x 1 ＝－     x 2 ＝0（舍去）  此时 y＝－ ×(－ )＋2＝ ∴点P 2 (－ ， ) ………………11分 ③当PA＝AM时，x 2 ＋(－ x＋2－ 2) 2 ＝(2 ) 2 解得：x 1 ＝－     x 2 ＝ （舍去）   此时 y＝－ ×(－ )＋2＝ ∴点P 3 (－ ， ) ………………12分 综上所述，满足条件的点为P 1 (－4，4)、P 2 (－ ， )、P 3 (－ ， )

略