Question

已知椭圆C： x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的离心率为63，且经过点(32，12)．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过

已知椭圆C： x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的离心率为63，且经过点(32，12)．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由 e2＝

a2?b2

a2

＝1?

b2

a2

＝

2

3

，
得 

b

a

＝

1

3

．   ①…（2分）
由椭圆C经过点(

3

2

，

1

2

)，得

9

4a2

+

1

4b2

＝1．    ②…（3分）
联立①②，解得 b=1，a＝

3

．  …（4分）   
所以椭圆C的方程是 

x2

3

+y2＝1．  …（5分）
（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得 （1+3k²）x²+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k²-36（1+3k²）＞0，得k²＞1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2＝?

12k

1+3k2

，x1x2＝

9

1+3k2

． …（9分）
所以 S△AOB＝|S△POB?S△POA|＝

1

2

×2×|x1?x2|＝|x1?x2|．     …（10分）
因为 (x1?