在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=63，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=63，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）...
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=63，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
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（1）∵e＝
，
∴
＝
，于是a2=3b2．
设椭圆C上任一点P（x，y），
则|PQ|2＝x2+(y?2)2＝a2(1?
)+(y?2)2＝?2y2?4y+4+3b2（-b≤y≤b）．
当0＜b＜1时，|PQ|2在y=-b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4，
由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去．
当b≥1时，|PQ|2在y=-1时取到最大值，且最大值为3b2+6，
由3b2+6=9解得b2=1．于是a2=3，椭圆C的方程是
+y2＝1．
（2）圆心到直线l的距离为d＝
，弦长AB＝2
，
∴△OAB的面积为S＝
AB?d＝d
，
于是S2＝d2(1?d2)＝?(d2?
)2+
．
而M（m，n）是椭圆上的点，
∴
+n2＝1，即m2=3-3n2，
于是d2＝
＝
，而-1≤n≤1，
∴0≤n2≤1，1≤3-2n2≤3，
∴
≤d2≤1，
于是当d2＝
时，S2取到最大值
，此时S取到最大值
，
此时n2＝
，m2＝
．
综上所述，椭圆上存在四个点(
，
)、(?
，
)、(
，?
)、(?
，?
)，
使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，且最大值为
| ||
| 3 |
∴
| c2 |
| a2 |
| 2 |
| 3 |
设椭圆C上任一点P（x，y），
则|PQ|2＝x2+(y?2)2＝a2(1?
| y2 |
| b2 |
当0＜b＜1时，|PQ|2在y=-b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4，
由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去．
当b≥1时，|PQ|2在y=-1时取到最大值，且最大值为3b2+6，
由3b2+6=9解得b2=1．于是a2=3，椭圆C的方程是
| x2 |
| 3 |
（2）圆心到直线l的距离为d＝
| 1 | ||
|
| 1?d2 |
∴△OAB的面积为S＝
| 1 |
| 2 |
| 1?d2 |
于是S2＝d2(1?d2)＝?(d2?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
而M（m，n）是椭圆上的点，
∴
| m2 |
| 3 |
于是d2＝
| 1 |
| m2+n2 |
| 1 |
| 3?2n2 |
∴0≤n2≤1，1≤3-2n2≤3，
∴
| 1 |
| 3 |
于是当d2＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
此时n2＝
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
综上所述，椭圆上存在四个点(
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| 2 |
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| 2 |
| ||
| 2 |
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| 2 |
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| 2 |
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| 2 |
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| 2 |
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使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，且最大值为
| 1 |
| 2 | <
