Question

如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，B

如图所示，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于E，交AB的延长线于点F，BF=4．（1）求证：△EFO∽△AFD，并求FEFA的值；（2）求cos∠F的值；（3）求线段BE的长．

Answer 1

（1）易知∠OEF=∠FAD=90°，而∠F=∠F，
故△EFO∽△AFD，
所以

EF

AF

＝

EO

AD

，
而EO=AO=

1

2

AB=

1

2

AD，即

FE

FA

=

1

2

；

（2）由△OEF∽△DAF，得

EF

AF

=

OE

DA

=

OE

AB

=

1

2

，
即AF=2EF，又EF²=FB?FA=BF?2EF，
∴EF=2BF=8，AF=2EF=16，
∴AB=AF-BF=12，
FO=

1

2

AB+BF=10．
cos∠F=

EF

FO

=

4

5

；

（3）由△BEF∽△EAF，得

BE

EA

=

EF

AF

=

8

16

=

1

2

，
设BE=k，则AE=2k，
由AE²+BE²=AB²，得
（2k）²+k²=12²，
解得k=

12

5

5

，
故BE=

12

5

5

．