Question

在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且DEBD=k，过E作EF∥AB交AC的延长线

在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且DEBD=k，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足得数量关系：______；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，若AB=9，tan∠DAF=12，AE=217，且AF＞EF，求边AC的长．

Answer 1

（1）证明：延长AD、EF交于点G，
当k=1时，DE=BD
∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，
又∵∠BDA=∠EDG，BD=ED，
∴△ABD≌△GED，
∴AB=GE，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠FGD=∠DAC，
∴AF=GF，
∴AF+EF=AB

（2）解：根据（1）可得线段AF、EF、AB之间满足数量关系：AF+EF=2AB；

（3）解：延长AD、EF交点为G．
由（1）（2）可知：FG+EF=2AB=18，即GE=18．
过点A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，tan∠G=tan∠DAF=

1

2

．
即

AH

GH

＝

1

2

∴GH=2AH
设AH=x，则GH=2x，HE=18-2x，
在Rt△AEH中，由勾股定理可得x²+(18?2x)2＝(2

17

)2，解得x1＝8，x2＝

32

5

，
当AH=8时，GH=16，设FH=a，则AF=16-a，在Rt△AFH中，
由勾股定理可得：8²+a²=（16-a）²，
解得a=6，AF=10，EF=8，成立．
当AH=

32

5

时，同理可求FH=4.8，AF=8，EF=10．
∵AF＞EF，∴此种情况不成立．
∵EF∥AB，∴∠ABC=∠FEC，又∵∠ACB=∠FCE．
∴△ABC∽△FEC，
∴

AB

FE

＝

AC

FC

即

9

8

＝

AC

10?AC

∴AC=

90

17

．