在△ABC中,已知AB>AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在DC的延长线上,且DEBD=k,过E作EF∥AB交AC的延长线
在△ABC中,已知AB>AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在DC的延长线上,且DEBD=k,过E作EF∥AB交AC的延长线于F.(1)如图1,当k=1时,求证:AF...
在△ABC中,已知AB>AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在DC的延长线上,且DEBD=k,过E作EF∥AB交AC的延长线于F.(1)如图1,当k=1时,求证:AF+EF=AB;(2)如图2,当k=2时,直接写出线段AF、EF、AB之间满足得数量关系:______;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AE,若AB=9,tan∠DAF=12,AE=217,且AF>EF,求边AC的长.
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(1)证明:延长AD、EF交于点G,
当k=1时,DE=BD
∵EF∥AB,∴∠BAD=∠EGD,
又∵∠BDA=∠EDG,BD=ED,
∴△ABD≌△GED,
∴AB=GE,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴∠FGD=∠DAC,
∴AF=GF,
∴AF+EF=AB
(2)解:根据(1)可得线段AF、EF、AB之间满足数量关系:AF+EF=2AB;
(3)解:延长AD、EF交点为G.
由(1)(2)可知:FG+EF=2AB=18,即GE=18.
过点A作AH⊥GE,在Rt△AGH中,tan∠G=tan∠DAF=
.
即
=
∴GH=2AH
设AH=x,则GH=2x,HE=18-2x,
在Rt△AEH中,由勾股定理可得x2+(18?2x)2=(2
)2,解得x1=8,x2=
,
当AH=8时,GH=16,设FH=a,则AF=16-a,在Rt△AFH中,
由勾股定理可得:82+a2=(16-a)2,
解得a=6,AF=10,EF=8,成立.
当AH=
时,同理可求FH=4.8,AF=8,EF=10.
∵AF>EF,∴此种情况不成立.
∵EF∥AB,∴∠ABC=∠FEC,又∵∠ACB=∠FCE.
∴△ABC∽△FEC,
∴
=
即
=
∴AC=
.
当k=1时,DE=BD
∵EF∥AB,∴∠BAD=∠EGD,
又∵∠BDA=∠EDG,BD=ED,
∴△ABD≌△GED,
∴AB=GE,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴∠FGD=∠DAC,
∴AF=GF,
∴AF+EF=AB
(2)解:根据(1)可得线段AF、EF、AB之间满足数量关系:AF+EF=2AB;
(3)解:延长AD、EF交点为G.
由(1)(2)可知:FG+EF=2AB=18,即GE=18.
过点A作AH⊥GE,在Rt△AGH中,tan∠G=tan∠DAF=
1 |
2 |
即
AH |
GH |
1 |
2 |
设AH=x,则GH=2x,HE=18-2x,
在Rt△AEH中,由勾股定理可得x2+(18?2x)2=(2
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32 |
5 |
当AH=8时,GH=16,设FH=a,则AF=16-a,在Rt△AFH中,
由勾股定理可得:82+a2=(16-a)2,
解得a=6,AF=10,EF=8,成立.
当AH=
32 |
5 |
∵AF>EF,∴此种情况不成立.
∵EF∥AB,∴∠ABC=∠FEC,又∵∠ACB=∠FCE.
∴△ABC∽△FEC,
∴
AB |
FE |
AC |
FC |
9 |
8 |
AC |
10?AC |
∴AC=
90 |
17 |
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