Question

已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c，g（x）=x2+2x+2，若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值（1）求实数a，b的值；

已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c，g（x）=x2+2x+2，若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值（1）求实数a，b的值；（2）若存在x1∈[-2，6]，x2[-2，6]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-2ax+b∵f（x）在及x=3处取得极值
∴-1和3是方程3x²-2ax+b的两根，

?1+3＝ 2a 3 ?1×3＝ b 3

?

a＝3 b＝?9

（2）依题意：x∈[-2，6]时，f（x）_max≥g（x）_min，g（x）_min=1．f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．当 x变化时，f′（x）、f（x）变化情况如表

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，6）	6
f′（x）		+		-	0	+
f（x）	c-2	↗	极大值c+5	↘	极小值c-27	↗	c+54

∴x∈[-2，6]时，f（x）_max=c+54≥1，∴c≥-53