Question

如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点．（1）求证：EF

如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）设M为线段C1C的中点，当D1DAD的比值为多少时，DF⊥平面D1MB，并说明理由．

Answer 1

（1）∵E为线段AD₁的中点，F为线段BD₁的中点，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（2）当

D1D

AD

＝

2

时，DF⊥平面D₁MB．
证明如下：连接AC，BD．
设AC与BD交于点O、连接OF，FM．在长方体中，
∵O是BD的中点，
∴OF∥DD₁且OF=

1

2

DD₁、而CM∥DD₁且CM=

1

2

DD₁．
∴OF∥CM且OF=CM，
∴四边形OCMF是平行四边形．
∴FM∥OC．
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥OC，而OC⊥BD，
∴OC⊥平面BB₁D₁D，
∴OC⊥DF，
∴FM⊥DF．
∵D1D＝

2

AD，
∴D₁D=BD．
∵F为BD₁的中点，
∴DF⊥BD₁．
∵FM∩BD₁=F，
∴DF⊥平面BD₁M．

Answer 2

（1）证明：在平面AD1B中,E为AD1的中点,F为BD1的中点
所以ED为△AD1B的中位线
所以ED‖AB
又因为AB在平面ABCD上
所以EF‖平面ABCD

（2）D1D比AD为√2比1
取AA1中点G连结DG,MG,DM
长方体ABCD－A1B1C1D1中,ABCD为正方形,所以AD=CD
CC1⊥CD,AA1⊥AD,所以∠MCD=∠GAD=90°
M,G分别为CC1,AA1的中点,所以CM=AG
所以△MCD≌△GAD,所以MD=GD
在△MDG中,MD=GD 所以△MDG为等腰三角形
F在MG上且为MG中点 所以DF⊥MG
设D1D=DB,则△DD1B中,为 D1B中点DF⊥D1B
∵MG,D1B相交组成平面D1MBG,DF⊥D1B（已证）,DF⊥MG（已证）
∴DF⊥平面D1MB
∴当D1D=DB时 DF⊥平面D1MB
DB为正方形ABCD的一条对角线,△ABD为等腰直角三角形DB：AD=√2：1
∵D1D=DB∴D1D比AD为√2比1