如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2√3,AB=4,且E,F分别是AB,A1B1中点。 (1)求证C1F//平面D1EC;
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(1)由E、F分别为AB、A1B1的中点,可得EF∥BB1,且EF=BB1
BB1∥CC1,且BB1=CC1,故EF∥CC1,且EF=CC1
∴四边形EFCC1是平行四边形,∴EC∥C1F
D1为平面EFCC1外一点,∴C1F∥平面D1EC
(2)过点D做DO⊥EC于点O,
DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥EC,DD1⊥DO
∴EC⊥平面DD1O
∴EC⊥OD1
∴∠DOD1即为D1-EC-D的二面角。
EB=1/2AB=2,BC=AD=2√3,由勾股定理得EC=4
∠OCD+∠ECB=90º,∠CEB+∠ECB=90º,CD=AB=4,∴△DCO≌△CEA
∴DO=BC=2√3
DD1=AA1=2√3,∴△DD1O为等腰直角三角形,
∴∠DOD1=45º
即二面角D1-EC-D等于45º
BB1∥CC1,且BB1=CC1,故EF∥CC1,且EF=CC1
∴四边形EFCC1是平行四边形,∴EC∥C1F
D1为平面EFCC1外一点,∴C1F∥平面D1EC
(2)过点D做DO⊥EC于点O,
DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥EC,DD1⊥DO
∴EC⊥平面DD1O
∴EC⊥OD1
∴∠DOD1即为D1-EC-D的二面角。
EB=1/2AB=2,BC=AD=2√3,由勾股定理得EC=4
∠OCD+∠ECB=90º,∠CEB+∠ECB=90º,CD=AB=4,∴△DCO≌△CEA
∴DO=BC=2√3
DD1=AA1=2√3,∴△DD1O为等腰直角三角形,
∴∠DOD1=45º
即二面角D1-EC-D等于45º
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