在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若BECF＜t恒成立，则t的最小值为（ ）A．34B．78C．1
在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若BECF＜t恒成立，则t的最小值为（）A．34B．78C．1D．54...
在△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，且3AB=2AC，若BECF＜t恒成立，则t的最小值为（ ）A．34B．78C．1D．54
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根据题意画出图形，如图所示：
∵3AB=2AC，
∴AC=
AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=
AC，AF=
AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB?AE?cosA
=AB2+（
AB）2-2AB?
AB?cosA=
AB2-
AB2cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF?AC?cosA
=（
AB）2+（
AB）2-2?
AB?
AB?cosA=
AB2-
AB2cosA，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∵当cosA取最小值时，
比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时
达到最大值，最大值为
=
，
则
＜t恒成立，t的最小值为
．
故选B
∵3AB=2AC，
∴AC=
| 3 |
| 2 |
又E、F分别为AC、AB的中点，∴AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE2=AB2+AE2-2AB?AE?cosA
=AB2+（
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 25 |
| 16 |
| 3 |
| 2 |
在△ACF中，由余弦定理得：CF2=AF2+AC2-2AF?AC?cosA
=（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| BE2 |
| CF2 |
| ||||
|
| ||||
|
∴
| BE |
| CF |
|
1?
|
∵当cosA取最小值时，
| BE |
| CF |
∴当A→π时，cosA→-1，此时
| BE |
| CF |
1?
|
| 7 |
| 8 |
则
| BE |
| CF |
| 7 |
| 8 |
故选B
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