Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单

如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m） 2 +n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣ ）a． （1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？

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Answer 1

（1）A的坐标是（0，1），∠ABO=30°；（2）﹣3；（3）4秒

试题分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数． （2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值． （3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解． （1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=- ， ∴OA=1，OB= ， ∴A的坐标是（0，1） ∠ABO=30°． （2）∵△CDE为等边△，点A（0，1）， ∴D的坐标是（ ，0），E的坐标是（ ，0）， 把点A（0，1），D（ ，0），E（ ，0），代入 y=a（x-m） 2 +n， 解得：a=-3． （3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足． ∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30° ∴∠BCE=90°，∠ECN=90° ∵CE，AB分别与⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四边形MPCN为矩形，∵MP=MN ∴四边形MPCN为正方形 ∴MP=MN=CP=CN=3（1- ）a（a＜0）． ∵EC和x轴都与⊙M相切，∴EP=EQ． ∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60° ∴∠EMQ=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°= ，∴PE=（ -3）a ∴CE=CP+PE=3（1- ）a+（ -3）a=-2 a ∴DH=HE=- a，CH=-3a，BH=-3 a， ∴OH=-3 a- ，OE=-4 a- ∴E（-4 a- ，0） ∴C（-3 a- ，-3a） 设二次函数的解析式为：y=a（x+3 a+ ） 2 -3a ∵E在该抛物线上 ∴a（-4 a- +3 a+ ） 2 -3a=0 得：a 2 =1，解之得a 1 =1，a 2 =-1 ∵a＜0，∴a=-1 ∴AF=2 ，CF=2，∴AC=4 ∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切． 点评：本题难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．