Question

如图（1）（2），直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分

如图（1）（2），直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．（1）若点M的横坐标是a，则点M的纵坐标是______（用含a的代数式表示）（2）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；（3）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？（4）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为b（0＜b＜4），正方形O′CMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与b的函数关系式并画出该函数的图象．

Answer 1

解答：解：（1）当x=a时，代入直线的解析式得：y=-a+4．
故答案是：-a+4；
（2）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）；
则：MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x；
∴C_{四边形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8
∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；
（3）根据题意得：S_{四边形OCMD}=MC?MD=（-x+4）?x=-x²+4x=-（x-2）²+4
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0＜x＜4）的二次函数，并且当x=2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；
（4）如图（2），当0＜b≤2时，△MEF是等腰直角三角形，ME=b，．
则S=4-

1

2

b²=-

1

2

b²+4；
如图10（3），当2≤b＜4时，△AGH是等腰直角三角形，AH=4-b，则S=

1

2

（4-b）²；
∴S与b的函数的图象如下图所示：