Question

已知数列满足：a1=1，an+1=anan+2，（n∈N*），若bn+1=（n-λ）（1an+1），b1=-λ，且数列{bn}是单调递增

已知数列满足：a1=1，an+1=anan+2，（n∈N*），若bn+1=（n-λ）（1an+1），b1=-λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为______．

Answer 1

∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），
∴

1

an+1

＝

2

an

+1，化为

1

an+1

+1＝2(

1

an

+1)，
∴数列{

1

an

+1}是等比数列，首项为

1

a1

+1=2，公比为2，
∴

1

an

+1＝2n，
∴b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）?2ⁿ，
∵b₁=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，
∴b_n+1＞b_n，
∴（n-λ）?2ⁿ＞（n-1-λ）?2^n-1，
化为λ＜n+1，
∵数列{n+1}为单调递增数列，
∴λ＜2．
∴实数λ的取值范围为λ＜2．
故答案为：λ＜2．