Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标；（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大，求出此时P点的坐标．

Answer 1

（1）把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c得

1?b+c＝0 c＝?3

，
解得

b＝?2 c＝?3

，
∴这个二次函数的表达式为y=x²-2x-3；

（2）如图1，∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，四边形ABPC为等腰梯形，
∴PC∥AB，
∴点P与点C是抛物线上的对称点，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

?2

2×1

=1，
∴点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．

（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，
则PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，-3），
∴E点坐标为（0，-

3

2

），
∴点P的纵坐标为-

3

2

，
把y=-

3

2

代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-

3

2

，
解得x=

2± 10

2

，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x=

2+ 10

2

，
∴满足条件的点P的坐标为（

2+ 10

2

，-

3

2

）．

（4）如图3，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x²-2x-3），
易得，直线BC的解析式为y=x-3
则Q点的坐标为（x，x-3）；
S_△BPC=S_△BPQ+S_△CPQ
=

1

2

QP?BF+

1

2

QP?OF
=

1

2

（-x²+3x）×3
=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
当x=

3

2

时，△BPC的面积最大，
此时P点的坐标为（

3

2

，-

15

4

）．