Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

（1）∵点B（3，0），C（0，-3）在二次函数y=x 2 +bx+c的图象上， ∴将B、C两点的坐标代入得 9+3b+c=0 c=-3 ， 解得： b=-2 c=-3 ∴二次函数的表达式为：y=x 2 -2x-3； （2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E， 设P（x，x 2 -2x-3）， 设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵B（3，0），C（0，-3）， ∴ 3k+b=0 b=-3 ， 解得 k=1 b=-3 ， ∴直线BC的解析式为y=x-3． ∴Q点的坐标为（x，x-3）， ∴S 四边形ABPC =S △ABC +S △BPQ +S △CPQ = 1 2 AB?OC+ 1 2 QP?OE+ 1 2 QP?EB = 1 2 ×4×3+ 1 2 （3x-x 2 ）×3 =- 3 2 （x- 3 2 ） 2 + 75 8 ， ∴当x= 3 2 时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（ 3 2 ，- 15 4 ），四边形ABPC的面积 75 8 ．