已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．
已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上...
已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为 ，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．
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| （1）y=  x﹣5（2）M的坐标为（  ，0）或（ ，0）（3）存在，  |
| 试题分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式． （2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标． （3）易证S △PED =S △PFD ．从而有S 四边形DEPF =2S △PED =  DE．由∠DEP=90°得DE 2 =DP 2 ﹣PE 2 =DP 2 ﹣ ．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应橘弊滑的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示． ∵PH∥OA， ∴△CHP∽△COA． ∴  = = ．∵圆腊点P是AC中点， ∴CP=  CA．∴HP= OA，CH= CO．∵A（3，0）、C（0，4）， ∴OA=3，OC=4． ∴HP=  ，CH=2．∴OH=2． ∵PH∥OA，∠COA=90°， ∴∠CHP=∠COA=90°． ∴点P的坐标为（  ，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b， ∵D（0，﹣5），P（ ，2）在直线DP上，∴  ∴  ∴直线DP的解析式为y= x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示， ∵△DOM∽△ABC， ∴  = ．∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5）， ∴BC=3，AB=4，OD=5． ∴  = ．∴OM=  ．∵点M在x轴的正半轴上， ∴点M的卜脊坐标为（ ，0）②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示， ∵△DOM∽△CBA， ∴  = ．∵BC=3，AB=4，OD=5， ∴  = ．∴OM= ．∵点M在x轴的正半轴上， ∴点M的坐标为（ ，0）．综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（ ，0）或（ ，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°， ∴AC=5． ∴PE=PF=  AC= ．∵DE、DF都与⊙P相切， ∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°． ∴S △PED =S △PFD ． ∴S 四边形DEPF =2S △PED =2× PE?DE=PE?DE=
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