Question

已知椭圆 ，过点 且离心率为 . （1）求椭圆 的方程；（2）已知 是椭圆 的左右顶点，动点M满足 ，

已知椭圆 ，过点 且离心率为 . （1）求椭圆 的方程；（2）已知 是椭圆 的左右顶点，动点M满足 ，连接AM交椭圆于点P，在x轴上是否存在异于A、B的定点Q,使得直线BP和直线MQ垂直.

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Answer 1

（1） ；（2）存在，

试题分析：（1）由离心率 ，所以① ，再把点 代入椭圆 中得：② ，最后③ ，由①②③三式求出 、 ，即可写出椭圆方程； 假设存在，设 ，则直线 的方程 ， 可得 ， 并设定点 ，由 ，直线 与直线 斜率之积为-1，即  ，化简得  ，又因为  ，得 ，可求出 ，继而得到定点 点坐标. （1）由题意得：  得 ， 所以，椭圆方程为 （2）设 ，则直线 的方程 ， 可得 ，        设定点 ， ， ，即  ，                           又因为 ，所以 进而求得 ，故定点为 .