Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，且对任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（2

已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，且对任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（2）=1．（Ⅰ）求f（1）；（Ⅱ）若f（x）+f（2x-1）≤2，求x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
∴令x=y=1得，f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=1，
解得f（1）=

1

2

，
（Ⅱ）令x=y=2得，f（2+2）=f（2）+f（2）=2，即f（4）=2，
∴f（x）+f（2x-1）≤2，转化为f（x+2x-1）≤f（4），
∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，
∴x+2x-1≤4，解得x≤

5

3

．