Question

如图8，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE.（1）求证：DE=DC．（2）如图

如图8，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE.（1）求证：DE=DC．（2）如图9，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系.

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O， ∴∠B+∠AED =180° ∵∠DEC+∠AED =180° ∴∠DEC =∠B ∵AB=AC ∴∠C =∠B ∴∠DEC =∠C ∴DE=DC （2）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O， ∴ ∠A+∠BDE =180° ∵∠EDC+∠BDE =180° ∴∠A=∠EDC ∵OA="OE" ∴∠A=∠OEA ∵∠OEA=∠CEF ∴∠A=∠CEF ∴∠EDC=∠CEF ∵∠EDC+∠DEC+∠DCE =180° ∴∠CEF+∠DEC+∠DCE =180° 即∠DEF +∠DCE =180° 又∵∠DCG +∠DCE =180° ∴∠DEF=∠DCG ∵∠EDC旋转得到∠FDG ∴∠EDC=∠FDG ∴∠EDC -∠FDC =∠FDG -∠FDC 即∠EDF=∠CDG ∵DE=DC ∴△EDF ≌ △CDG（ASA） ∴DF="DG"

（1）根据圆内接四边形的性质即等腰三角形的性质即可得到结果； （2）根据圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及性质即可得到结果；