Question

设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，椭圆上的点A（1，32）到F1，F2两点的距离

设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，椭圆上的点A（1，32）到F1，F2两点的距离之和等于4，求：①写出椭圆C的方程和焦点的坐标；②过F1且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长．

Answer 1

①椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，
又点A（1，

3

2

）在椭圆上，
因此

12

22

+

( 3 2 )2

b2

＝1，得b²=1，于是c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2＝1，焦点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）．
②∵椭圆C的方程为

x2

4

+y2＝1，∴a=2，
∵过F₁且倾斜角为30°的直线交椭圆于A，B两点，
∴△ABF₂的周长=4a=8．