Question

已知函数f（x）=1a?1x （a＞0，x＞0）．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（x）≤2x在

已知函数f（x）=1a?1x （a＞0，x＞0）．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=

1

a

?

1

x

（a＞0，x＞0），
∴f′（x）=

1

x2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，得

1

a

?

1

x

≤2x，
∴

1

a

≤

1

x

+2x，只要求出

1

x

+2x在（0，+∞）上的最小值即可，
∴

1

x

+2x≥2

2

（当x=

2

2

时等号成立），
∴

1

a

≤2

2

，a＞0，
∴a≥

2

4

；