Question

（理科）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，Sn=12anan+1（n∈N+），其中Sn是数列{an}的前n项的和．（1

（理科）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，Sn=12anan+1（n∈N+），其中Sn是数列{an}的前n项的和．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）已知p（≥2）是给定的某个正整数，数列{bn}满足bn=1，bk+1bk=k?pak+1（k=1，2，3…，p-1），求bk；（3）化简b1+b2+b3+…+bp．

Answer 1

（1）∵sn＝

1

2

an?an+1，（n∈N^*），
∴sn?1＝

1

2

an?1?an．
∴a_n=

1

2

a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
∴a₂，a₄，a₆，…a_2n是首项为a₂，公差为2的等差数列；
 a₁，a₃，…a_2n-1是首项为a₁，公差为2的等差数列．
又a1＝1，s1＝

1

2

a1a2，可得a₂=2．
∴a_2n=2n，a_2n-1=2n-1（n∈N^*）．
所以，所求数列的通项公式为：a_n=n．
（2）∵p是给定的正整数（p≥2），

bk+1

bk

=

k?p

ak+1

（k=1，2，3，…p-1），
∴数列{b_k}是项数为p项的有穷数列．
b₁=1，

bk+1

bk

=

k?p

k+1

（k=1，2，3，…p-1），
∴b₂=（-1）

p?1

2

，b₃=（-1）²

(p?1)(p?2)

3?2

，b₄=（-1）³

(p?1)(p?2)(p?3)

4?3?2

，…，
 归纳可得bk＝(?1)k?1

(p?1)(p?2)(p?3)…(p?k+1)

k!

(k＝1，2，3，…p)．
（3）由（2）可知bk＝(?1)k?1

(p?1)(p?2)(p?3)…(p?k+1)

k!

(k＝1，2，3，…p)，
 进一步可化为bk＝?

1

p

(?1)k

C

k p

(k＝1，2，3，…p)．
所以，b₁+b₂+b₃+…+b_p-1+b_p
=?

1

p

[(?1)

C

1 p

+(?1)2

C

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