Question

已知函数f（x）=|x(a3x2+a?1x?1)|在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围

已知函数f（x）=|x(a3x2+a?1x?1)|在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=|-x-1|，
∵x∈（0，+∞），∴f（x）=x+1满足（0，+∞）上单调递增，
（2）当a＜0时，由3x²+a=0，解得x=

? a 3

，∴定义域内x≠

? a 3

，故定义域不再是（0，+∞），∴a＜0不适合题意；
（3）当a＞0时，
f（x）=|

ax

3x2+a

?x?1|=|

ax?x(3x2+a)?(3x2+a)

3x2+a

|=|

?3x3?3x2?a

3x2+a

|=|

3x3+3x2+a

3x2+a

|
∵x＞0，a＞0，∴3x³+3x²+a＞0、3x²+a＞0
∴f（x）=

3x3+3x2+a

3x2+a

=

3x3

3x2+a

+1，
∵f′（x）=

9x2(3x2+a)?3x3×6x

(3x2+a)2

=

9x2(x2+a)

(3x2+a)2

＞0
∴f（x满足（0，+∞）上单调递增，∴当a＞0时满足条件，
综上（1）（2）（3）知a≥0．