Question

已知函数f（x）满足 f(ax-1)=lg x+2 x-3 (a≠0) ．（1）求f（x）的表达式；（2）求f（x）的定义

已知函数f（x）满足 f(ax-1)=lg x+2 x-3 (a≠0) ．（1）求f（x）的表达式；（2）求f（x）的定义域；（3）判定f（x）的奇偶性与实数a之间的关系，并说明理由．

Answer 1

（1）设ax-1=t则x= t+1 a ， 由于 f(ax-1)=lg x+2 x-3 (a≠0) ， ∴ f(t)=lg t+1 a +2 t+1 a -3 = lg t+1+2a t+1-3a ， 从而 f(x)=lg x+1+2a x+1-3a （4分） （2）a＞0时， x+1+2a x+1-3a ＞0 ?x∈（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）， 即函数的定义域为（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞）， a＜0时， x+1+2a x+1-3a ＞0 ?x∈（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）．  即定义域为（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）．    （8分） （3）当定义域关于原点对称时a=2，此时 f(x)=lg x+5 x-5 （10分） ∵ f(-x)=lg x-5 x+5 =-f(x) ，∴f（x）为奇函数，（13分） 当a≠0且a≠2时，f（x）的定义域不关于原点对称， 故f（x）为非奇非偶函数．                             （15分）