Question

设 f(x)= x a(x+2) ，x=f（x）有唯一解， f( x 1 )= 1 1003 ，f（x n ）=x n+1

设 f(x)= x a(x+2) ，x=f（x）有唯一解， f( x 1 )= 1 1003 ，f（x n ）=x n+1 （n∈N*）．（Ⅰ）求x 2004 的值；（Ⅱ）若 a n = 4 x n -4009 ，且 b n = a 2n+1 + a 2n 2 a n+1 a n (n∈N*) ，求证：b 1 +b 2 +…+b n -n＜1；（Ⅲ）是否存在最小整数m，使得对于任意n∈N*有 x n ＜ m 2005 成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解（Ⅰ）由 x= x a(x+2) ，可以化为ax（x+2）=x， ∴ax 2 +（2a-1）x=0， 由△=（2a-1） 2 =0得 当且仅当 a= 1 2 时，x=f（x）有惟一解x=0， 从而 f(x)= 2x x+2 …（1分） 又由已知f（x n ）=x n+1 得： 2 x n x n +2 = x n+1 ， ∵ 1 x n+1 = 1 2 + 1 x n ， 即 1 x n+1 - 1 x n = 1 2 (n∈N*) ∴数列 { 1 x n } 是首项为 1 x 1 ，公差为 1 2 的等差数列…（3分） ∴ 1 x n = 1 x 1 + n-1 2 = 2+(n-1) x 1 2 x 1 ， ∴ x n = 2 x 1 (n-1) x 1 +2 又∵ f( x 1 )= 1 1003 ， ∴ 2 x 1 x 1 +2 = 1 1003 ，即 x 1 = 2 2005 …（4分） ∵ x n = 2× 2 2005 (n-1)? 2 2005 +2 = 2 n+2004 …（5分） 故 x 2004 = 2 2004+2004 = 1 2004 …（6分） （Ⅱ）证明：∵ x n = 2 n+2004 ， ∴ a n = n+2004 2 ×4-4009=2n-1 …（7分） ∴ b n = a 2n + a 2n-1 2 a n a n+1 = (2n-1) 2 + (2n+1) 2 2(2n-1)(2n+1) = 4 n 2 +1 4 n 2 -1 = 1+ 2 (2n-1)(2n+1) =1+ 1 2n-1 - 1 2n+1 …（8分） ∴ b 1 + b 2 +…+ b n -n=(1+1- 1 3 )+(1+ 1 3 - 1 5 )+…+(1+ 1 2n-1 - 1 2n+1 )-n = 1- 1 2n+1 ＜1 …（10分） （Ⅲ）由于 x n = 2 n+2004 ，若 2 n+2004 ＜ m 2005 (n∈N*) 恒成立， ∵ ( 2 n+2004 ) max = 2 2005 ， ∴ m 2005 ＞ 2 2005 ， ∴m＞2，而m为最小正整数， ∴m=3…（12分）