Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，满足f（1）=0（1）若c=1，解不等式f（x）＞0（2）若a＞b＞c，设方程f（x

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，满足f（1）=0（1）若c=1，解不等式f（x）＞0（2）若a＞b＞c，设方程f（x）=0的最小根为x 0 ，确定a，c的符号并求x 0 的取值范围．

Answer 1

∵f（1）=0，∴a+b+c=0， （1）∵c=1，∴b=-a-1， 由f（x）＞0，得ax 2 -（a+1）x+1＞0， 即（ax-1）（x-1）＞0， ∵f（x）=ax 2 +bx+c为二次函数， ∴a≠0． 当0＜a＜1时，不等式解为 (-∞，1)∪( 1 a ，+∞) ； 当a=1时，不等式解为（-∞，1）∪（1，+∞）； 当a＞1时，不等式解为 (-∞， 1 a )∪(1，+∞) ； 当a＜0时，不等式解为 ( 1 a ，1) ． （2）∵a+b+c=0，a＞b＞c， ∴a+b+c＞c+c+c， ∴c＜0， ∴a+b+c＜a+a+a， ∴a＞0， 故a＞0，c＜0， ∵f（x）=0， ∴ax 2 +bx+c=0， ∵a+b+c=0， ∴ax 2 -（a+c）x+c=0， ∴（x-1）（ax-c）=0， ∵a＞0，c＜0，∴ x 0 = c a ， ∵a+b+c=0，a＞b＞c， ∴a＞-a-c＞c， ∴ 2a＞-c a＜-2c ， ∴ -2＜ c a ＜- 1 2 ， ∴ x 0 ∈(-2，- 1 2 ) ．