Question

已知函数f（x）=ax-xlna，其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在〔-1，1〕上

已知函数f（x）=ax-xlna，其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）在〔-1，1〕上的最小值和最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
当a＞1时，lna＞0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
当0＜a＜1时，lna＜0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（-1，0）单调递减，在（0，1）在单调递增，
∴当x=0时f（x）取得最小值，
即f（x）_min=f（0）=1，
f（x）_max=max{f（1），f（-1）}
又f(1)＝a?lna，f(?1)＝

1

a

 +lna，
则f(1)?f(?1)＝a?

1

a

 ?2lna．
设g(a)＝a?

1

a

?2lna，则g′(a)＝1+

1

a2

?

2

a

=(

1

a

?1)2＞0在a＞0且a≠1时恒成立，
∴当0＜a＜1时，g（a）＜g（1）=0，即f（1）＜f（-1），
∴f（x）_max=f（-1）=

1

a

+lna；
当a＞1时，g（a）＞g（1）=0，
即f（1）＞f（-1），
f（x）_max=f（1）=a-lna，
综上可知，函数f（x）在[-1，1]上的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜1时，函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（-1）=

1

a

+lna，
当a＞1时，函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=a-lna．