Question

两个反比例函数y＝k1x和y＝k2x（k1＞k2＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P在y＝k1x的图象上，PC⊥x

两个反比例函数y＝k1x和y＝k2x（k1＞k2＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P在y＝k1x的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝k2x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝k2x的图象于点B．（1）求证：四边形PAOB的面积是定值；（2）当PAPC＝23时，求DBBP的值；（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB、△ABP的面积分别记为S△OAB′S△ABP．设S=S△OAB-S△ABP′①求k1的值；②当k2为何值时，S有最大值，最大值为多少？

Answer 1

（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC与△BOD的面积分别为S₁，S₂，矩形PCOD的面积为S₃，
由题意，得y1＝

k2

x1

，y2＝

k2

x2

，y3＝

k1

x3

，
∴S1＝

1

2

x1y1＝

1

2

k2，S2＝

1

2

x2y2＝

1

2

k2，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四边形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四边形PAOB的面积是定值；（2分）

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，则OD?BD=OC?AC
又∵PA＝

2

3

PC
∴AC＝

1

3

PC
∵DP=OC，OD=PC
∴BD＝

1

3

DP
∴

DB

BP

＝

1

2

；（4分）

（3）解：①由题意知：k₁=x_Py_P=10；（5分）
②A、B两点坐标分别为A(5，

k2

5

)，B(

k2

2

，2)
∴S△ABP＝

1

2

AP?BP＝

1

2

(2?

k2

5

)(5?

k2

2

)
∴S＝S四边形PAOB?2S△ABP＝10?k2?2×

1

2

(2?

k2

5

)(5?

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