Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）试在线段A1B1上找一点M，使得平面AC1M∥平面CDB1．

Answer 1

（1）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥AC，
AC=3，BC=4，AB=5，因此BC⊥AC，
而BC∩CC₁=C，
因此AC⊥平面BCC₁B₁，
而BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（Ⅱ）证明：设BC₁∩CB₁=O，则O为B₁C中点．
连接OD，点D是AB的中点，
因此AC₁∥OD，而OD?平面B₁CD，AC₁不包含于平面B₁CD，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：M为线段A₁B₁的中点．使得平面AC₁M∥平面CDB₁．
证明如下：
∵点D是AB的中点，M为线段A₁B₁的中点，
∴CD∥C₁M，AD

∥

.

MB₁，∴四边形ADB₁M是平行四边形，
∴AM∥DB₁，
∵C₁M∩AM=M，∴平面AC₁M∥平面CDB₁．