Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点．（1）求抛物线的

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为α（0°＜α≤90°）．①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？②设BP=t，AQ=s，求s与t之间的函数关系式．

Answer 1

（1）根据题意，得

? 1 2 +b+c＝0 ? 25 2 +5b+c＝0

，
解得

b＝3 c＝? 5 2

，
∴y=-

1

2

x²+3x-

5

2

=-

1

2

（x-3）²+2，
∴顶点C的坐标为（3，2）．

（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，
∴∠DCB=∠CBD=45度．
若CQ=CP，则∠PCD=

1

2

∠PCQ=22.5度．
∴当α=22.5°时，△CPQ是等腰三角形．
ⅱ）若CQ=PQ，则∠CPQ=∠PCQ=45°，
此时点Q与D重合，点P与A重合．
∴当α=45°时，
△CPQ是等腰三角形．
若PC=PQ，∠PCQ=∠PQC=45°，此时点Q与B重合，点P与D重合．
∴α=0°，不合题意．
∴当α=22.5°或45°时，△CPQ是等腰三角形．

②连接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CAD=45°，AC=BC=

22+22

＝2

2

当0°＜α≤45°时，
∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45度．
∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45度．
∴∠ACQ=∠BPC．
又∵∠CAQ=∠PBC=45°，
∴△ACQ