Question

选修4-1：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平

选修4-1：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC（Ⅱ）若EH=BE=a，求AH．

Answer 1

解：（I）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，
∴

BD

=

CD

，可得∠DBC=∠BCD，
又∵BE与圆O相切于点B，
∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（II）∵AB为圆O的直径，∴BD⊥AD，
又∵△BEH中，∠DBE=∠DBC，BD⊥EH，∴BH=BE，
∵EH=BE=a，∴△BEH是边长为a的等边三角形，可得∠E=60°，
因此Rt△ABE中，cos∠E=

BE

AB

=

1

2

，可得AE=2BE=2a，
∴AH=AE-EH=a．