Question

已知等腰三角形腰上的中线长为 根号3，则该三角形的面积的最大值是多少？

要有过程哦，重奖！

Answer 1

作出等腰三角形ABC,AB=AC,M为AB中点，CM=√3,作AD⊥BC交BC于D点，作MN∥AD交BC于N，设BC=4a，AD=2h， ∵AB=AC,∴D为BC中点，又∵M为AB中点，∴MN为△ABD的中位线，即MN=AD=h,BN=a ∵△CMN为直角三角形， ∴CM=CN+MN，即3=9a+h 根据基本不等式得： 2*√（9ah）≤9a+h=3 即ah≤0.5 S△ABC=BC*AD=4ah≤2 ∴所求最大面积为2

Answer 2

利用余弦定理和均值不等式可得当中线与另一腰夹角为30°时由勾股定理逆定理可得此时中线为高线所以Smax=2*√3／2=√3 追问： 能不能过程具体点？ 回答： 貌似我看错了从新来过设这个三角形为三角形ABC设∠A=θ中线与腰的交点为D腰长为2x在三角形ADC中cosθ=(5x^2-3)／2x^2由面积公式S=1／2*4x^2sinθ解得sinθ=s／2x^2代入cosθ的式子结合sin^2θ+cos^2θ=1得到smax=6√21／21 补充： 我算错了smax=2仅当cosθ=4/5 取得

Answer 3

设等腰三角形的顶角为a,腰长为2a,则cosa=(a^2+4a^2-3)/(2×a×2a)=(5a^2-3)/(4a^2)
s^2=(2×1/2×a×2a×sina)^2=4a^2(sina)^2=(-9a^4+30a^2-9)/4
这是关于a^2的二次函数
因根号3/3<a<根号3得1/3<a^2<3
当a^2=5/3时,s取最大值2

Answer 4

利用余弦定理和均值不等式可得当中线与另一腰夹角为30°时由勾股定理逆定理可得此时中线为高线所以Smax=2*√3／2=√3