Question

已知等腰三角形腰上的中线长为 ，则该三角形的面积的最大值为 ▲ .

已知等腰三角形腰上的中线长为 ，则该三角形的面积的最大值为 ▲ .

Answer 1

3/5

解：根据题意画出图形，如图所示： 设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a， 在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=a 2 +4a 2 -3 2×a×2a =5a 2 -3 /4a 2 ，解得a 2 ="3" /（5-4cosA ）， 设△ADC的面积为S， 则S="1" /2 a?2a?sinA=a 2 sinA="3sinA" /5-4cosA  ①， ．下研究求面积的最值 法一：求导得：S′="3cosA(5-4cosA)-12sin2A" (5-4cosA)2 ="15cosA-12" (5-4cosA)2 ，令S′=0，解得cosA="4/" 5 ， 当cosA＜4 /5 时，S′＞0，S单调递增；当cosA＞4 /5 时，S′＜0，S单调递减， 所以S在cosA="4" 5 处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA="3" /5