Question

已知等腰三角形腰上的中线长为根号三,三角型面积最大值？

Answer 1

首先设腰长为2a,中线将三角形分为两半,两半的面积相等,取顶角那边的一半形成一个新三角形,
此三角形的三边为a,2a,√3设顶角为c则由余弦定理得3=a^2+4a^2-4(a^2)cosc
所以a^2=3/(5-4cosc),
又由正弦定理得此三角形的面积S=1/2*a*2a*sinc=(a^2)sinc=3sinc/(5-4cosc),
然后对S求导得S'=(-15cosc+12cos^2c+12sin^2c)/(5-4cosc)^2=(-15cosc+12)/(5-4cosc)^2,
令S'=0得cosc=4/5且当cosc,9,
作出等腰三角形ABC,AB=AC,M为AB中点，CM=√3,作AD⊥BC交BC于D点，作MN∥AD交BC于N，设BC=4a，AD=2h，
∵AB=AC,∴D为BC中点，又∵M为AB中点，∴MN为△ABD的中位线，即MN=½AD=h,BN=a
∵△CMN为直角三角形，
∴CM²=CN²+MN²，即3=9a²+h
...,2,设此三角形的底边为a那么，面积为
s=1/2xa（根号3) （此时的高与中线相等）
所以当a=根号3时，面积最大
最大为：1/2(根号3)x根号3=3/2,1,