Question

求 f=(sinx)^2的麦克劳林级数展开式

Answer 1

f(x)=(1-cos2x)/2

=1/2[1-1+(2x)²/2!-(2x)^4/4!+...]

=1/2[(2x)²/2!-(2x)^4/4!+...]

=x²-2^3x^4/4!+2^5x^6/6!-.....

扩展资料

定理1设函数f(x)的麦克劳林级数的收敛半径R>0，当n→∞时，如果函数f(x)在任一固定点x处的n阶导数f(n)(x)有界，则函数f(x)在收敛区间(-R，R)内能展开成麦克劳林级数。

利用麦克劳林级数展开函数，需要求高阶导数，比较麻烦，如果能利用已知函数的展开式，根据幂级数在收敛域内的性质，将所给的函数展开成幂级数，这种方法称为间接展开法。

Answer 2

f(x)=sin²x，先求它在x=0处的各阶导数。因为f(ⁿ)(x)=2^(n-1)sin[2x+(n-1)π/2]。所以
f(0)=0，f′(0)=0，f″(0)=2，f(³)(0)=0，f(4)(0)=-8，……，f(ⁿ)(0)=2^(n-1)sin[(n-1)π/2]
所以展开后为f(x)=2x²/2!-2³x^4/4!+2^5x^5/5!-2^7x^7/7!+……
+2^(n-1)sin[(n-1)π/2]xⁿ/n!+……

Answer 3

如果是f(x)=sinx²，那根据sinx=x-x³/3!+x^5/5!-....得：
sinx²=x²-x^6/3!+x^10/5!-....
如果是f(x)=(sinx)²=(1-cos2x)/2, 那根据cosx=1-x²/2!+x^4/4!-..., 得：
(sinx)²=1/2[2²x²/2!-2^4x^4/4!+....]=x²-2³x^4/4!+2^5x^6/6!-.....

Answer 4

f(x)=(1-cos2x)/2
=1/2[1-1+(2x)²/2!-(2x)^4/4!+...]
=1/2[(2x)²/2!-(2x)^4/4!+...]
=x²-2^3x^4/4!+2^5x^6/6!-.....

追问

写成∑形式可好

追答

∑(-1)^(n-1)*2^(2n-1)*x^(2n)/(2n)!

追问

为什么之前的1/2没有了？

追答

乘进去约掉了

追问

之前不有个1么

追答

1-1=0呀

追问

哦，没看到！O(∩_∩)O